开平方

编辑:蚕桑网互动百科 时间:2020-02-25 07:48:44
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定义
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方(extraction of square root),其中a叫做被开方数
实数范围内a必须大于或等于零,即a为非负数
在复数范围内,定义i的平方是-1,即-1的平方根是+/-i,记作i^2=-1。
开方公式
X(n + 1) = Xn + (A / Xn – Xn)1 / 2.。(n,n+1与是下角标)
开平方的理论依据
开平方是平方的逆运算,只要我们知道平方的计算方法,开平方就迎刃而解了。
我们令10位数值为A,个位数值为B,即为A*10+B,根据二数和的平方有:(Ax10+B)^2=(Ax10)^2+2(Ax10)xB+B^2=(A^2)x100+(20A+B)xB。
举例说明:例359^2计算方法
1、3^2=9,
2、(20x3+5)x5=325,
3、(20*35+9)*9=6381,
4、将这些数,按两位分节合起来:90000+32500+6381=128881。得359^2=128881。
将这些计算步骤倒过来,就是开平方。同理,可以得开立方及N次方的方法。
中文名
开平方
意    义
求实数x的平方根

开平方开方的计算步骤

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1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段,用撇号分开(竖式中的11’56),分成几段,表示所求平方根是几位数;
笔算开平方方法 笔算开平方方法
2.根据左边第一段里的数,求得平方根的最高位上的数(竖式中的3);
3.从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256);
4.把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商(20×3除256,所得的最大整数是 4,即试商是4);
5.用所求的平方根的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商.如果所得的积小于或等于余数,试商就是平方根的第二位数;如果所得的积大于余数,就把试商减小再试(竖式中(20×3+4)×4=256,说明试商4就是平方根的第二位数);
6.用同样的方法,继续求平方根的其他各位上的数.
如遇开不尽的情况,可根据所要求的精确度求出它的近似值.
例如求 的近似值(精确到0.01),可列出上面右边的竖式,并根据这个竖式得到。
笔算开平方运算较繁,在实际中直接应用较少,但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值.
实例1 开方公式
例如,A=5:
5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我们最好取 中间值2.5。
第一步:2.5+(5/2.5-2.5)1/2=2.2;输入值大于输出值,负反馈;
即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位数2.2。
第二步:2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23;输入值小于输出值,正反馈;
即5/2.2=2.27272,2.27272-2.2=0.07272,0.07272×1/2=0.03636,2.2+0.03636=2.23636。取3位数2.23。
第三步:2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
即5/2.23=2.2421525,,2.2421525-2.23=0.0121525,,0.0121525×1/2=0.00607,,2.23+0.006=2.236.,取4位数。
每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方,即使你输入一个错误的数值,也没有关系,输出值会自动调节,接近准确值。
例如A=200.
200介如10的平方至20的平方之间。初始值可以取11,12,13,14,15,16,17,18,19。我们去15.
15+(200/15-15)1/2=14。取19也一样得出14.。:19+(200/19-19)1/2=14.。
14+(200/14-14)1/2=14.1。
14.1+(200/14.1-14.1)1/2=14.14.
实例2 精确开方公式
对于一个要开平方的数C,先试估一个尽可能接近方根的数a,使得C=a²±b,且b≤a,则
√C≈a±b/2a-b²/8a³
例如,√3000:
因为3000=3025-25=55²-25
所以√3000≈55-25/(2*55)-25²/(8*55³)= 54.7722577......,一次性得到了7位有效数字的精确度。

开平方古代数学成就

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我国古代数学的成就灿烂辉煌,早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里,就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法.据史料记载,国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍.这表明,古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的.
词条标签:
理学